リスク比の信頼区間

ポイント：比の対数をとり、正規近似する

リスク比は疫学における指標の1つです．一般的には相対危険度（相対リスク，relative risk，RR）として利用されています．

xm <- matrix(c("a","b","c","d"), nrow=2, byrow=T)
name <- list("暴露"=c("あり(A群)","なし(B群)"),"疾病"=c("あり","なし"))
dimnames(xm)<-name
xm

            疾病
暴露         あり なし
  あり(A群)  "a"  "b" 
  なし(B群)  "c"  "d"

前提
比は分母が小さくなると、数値が大きくなりすぎて正規近似の精度が悪くなります．比の対数であれば高い精度で正規近似することが可能になります．したがって、比の対数を考えていくことになります．

定義と言葉の整理

標本比率　 $\frac{a}{a+b}=p'A$ の母比率を $PA$

標本比率　 $\frac{c}{c+d}=p'B$ の母比率を $PB$

$log\frac{a}{a+b}=log(p'A)$ ,　 $log\frac{c}{c+d}=log(p'B)$

リスク差（過剰絶対リスク） = $p'A-p'B$

リスク比 RR = $\frac{p'A}{p'B}$ 　Ａ群のＢ群における疾病の頻度の比

過剰リスク（過剰相対リスク） = $\frac{p'A-p'B}{p'B}$ 　

オッズ比= $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$

比の対数を考えていきます．
標本のリスク比＝標本リスク比( $\frac{p'A}{p'B}$ = $rr$ )、母集団のリスク比を母リスク比( $\frac{PA}{PB}$ = $RR$ )とします．

標本リスク比 $rr$ の対数 $log\ rr$ 、　母リスク比 $RR$ の対数 $log RR$

正規近似で信頼区間を求めていくためには、以下の式が必要になります．

$Z = \frac{ log\ rr - logRR}{ log\ rr の標準誤差}$

したがって、以下の式が95％信頼区間を求める式になります

$log\ rr - 1.96(log\ rrの標準誤差) \leqq logRR \leqq log\ rr + 1.96(log\ rrの標準誤差)$

以下、 $log\ rrの標準誤差 = SE$ とします

$log\ rr - 1.96SE \leqq logRR \leqq log\ rr + 1.96SE$

$rr\times exp(-1.96\times SE) \leqq RR \leqq rr\times exp(1.96\times SE)$

$log\ rrの分散$

$log\ rr=log\ a - log(a+b) - log\ c + log(c+d)$ より

$V(log\ rr)=\frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{c+d}$ 　デルタ法(delta method)によって近似的に求めたもの

「矢野様より指摘いただき、修正しております」

#Rで95％信頼区間を求めてみます
rr <- a*(c+d)/(a+b)/c      #  = (a/(a+b))/(c/(c+d)) 
exp(log(rr)+qnorm ( c(0.025,0.975) )*sqrt(b/a/(a+b)+d/c/(c+d)))

または
exp(log(rr)+c(-1,1)*qnorm (0.975)*sqrt(b/a/(a+b)+d/c/(c+d)))

例）
クロス表イメージ
matrix(c(76, 399, 129, 332),2,byrow=T)
     [,1] [,2]
[1,]   76  399
[2,]  129  332

a<-76; b<-399; c<-129; d<-332　#参考web2より
( rr <-  a*(c+d)/(a+b)/c )    #リスク比
[1] 0.5717829
rr*exp(qnorm ( c(0.025,0.975) )*sqrt(b/a/(a+b)+d/c/(c+d)))
[1] 0.4440632 0.7362370

または
rr*exp(c(-1,1)*qnorm (0.975)*sqrt(b/a/(a+b)+d/c/(c+d)))
[1] 0.4440632 0.7362370

参考web1　R -- 相対危険度（対応のない場合）
参考web2　R による統計処理
参考文献）柳川堯 ; 観察データの多変量解析―疫学データの因果分析,近代科学社 ,2016