理学療法士がまとめたノート

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指数分布

指数分布
投稿日2017.9.4


今回はRを使って苦手な指数関数に挑戦します

定義
f(x)を確率変数X確率密度関数とします
F(X)は確率変数Xの累積分布関数とします
F(X)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\ =\ 1

離散型の変数で確率密度関数の復習をします
例)正確なサイコロ
確率変数X\ \ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
f(x) = \frac{1}{6}\ \ \ \ (離散型一様分布)

y<-c(rep(1/6,6))
plot(y, type = "h")

f:id:yoshida931:20170904101052j:plain:w250

指数分布の密度関数
f(x) = λe^{-λx}\ \ \ (x ≧ 0)
f(x) = 0\ \ \ (x < 0)
f(x)は確率密度関数なのでx ≧ 0の範囲で積分したら1になります.

Rを使ってグラフを描いてみます(dexp=指数分布の密度関数)

curve(dexp(x, 1.0), from = 0, to = 10)

f:id:yoshida931:20170904095802j:plain:w250
指数分布の累積分布関数
 F(X)=\intλe^{-λx}dx
公式  ∫e^{cx}dx = \frac{1}{c}e^{-λx} より
 F(X)= 1 - e^{-λx}
Rを使ってグラフを描いてみます(dexp=指数分布の密度関数)
f:id:yoshida931:20170904132809j:plain:w250

指数分布の期待値
確率変数Xの期待値をE(X)、分散をV(X)とします
E(X) は確率の重み付き平均です.客観的な予想値になります.
サイコロ(離散型)の例で考えると・・・
期待値= 1*f(x) + 2*f(x) + ・・・ + 6*f(x) = 3.5
連続変数では、期待値を求めるために積分します.
E(X) = \int xf(x) dx
公式より \ \ \int xe^{cx}dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)
E(X) =[\frac{e^{-λx}}{λ^2}(-λx-1)]=\ \frac{1}{λ}

指数分布の分散
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2
E(X^2)=\int x^2λe^{-λx}dx
公式より \ \ \int x^2e^{cx}dx\ =\ e^{cx}(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3})
E(X^2)=[λe^{-λx}(\frac{x^2}{-λ}-\frac{2x}{-λ^2}+\frac{2}{-λ^3})]\ =\ \frac{2}{λ^2}
V(X)=\frac{2}{λ^2}-\frac{1}{λ^2}\ =\ \frac{1}{λ^2}

指数分布の確率密度関数と累積分布関数のグラフをまとめてRで描いてみます
λ:0.5, 1.0, 1.5
軸範囲を統一して同じグラフに書き加えるのでpar(new=T)を使用します
左に確率密度関数、右に累積分布関数を表示するように指示します

par(mfrow=c(1,2))
curve(dexp(x, 0.5), from = 0, to = 10, ylim = c(0, 1.5), col = 1,ylab ="確率密度")
par(new=T)
curve(dexp(x, 1.0), from = 0, to = 10, col = 2, ylab ="")
par(new=T)
curve(dexp(x, 1.5), from = 0, to = 10, col = 3,ylab ="")
curve(pexp(x, 0.5), from = 0, to = 10, ylim = c(0, 1.0), col = 1,ylab ="累積分布")
par(new=T)
curve(pexp(x, 1.0), from = 0, to = 10, col = 2, ylab ="")
par(new=T)
curve(pexp(x, 1.5), from = 0, to = 10, col = 3, ylab ="")
labels<-c("黒:λ=0.5","赤:λ=1.0","緑:λ=1.5")
legend("bottomright", legend = labels)
dev.off()

f:id:yoshida931:20170904201718j:plain:w600