理学療法士がまとめたノート

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二元配置分散分析 (1)

二元配置分散分析

投稿日2017.3.8
更新日2017.8.17

 

主効果:因子の効果がその水準によって異なるとき主効果があるという

交互作用:別の因子がどのようなものかによって効果が異なるとき因子間に交互作用があるという

要因効果:主効果と交互作用の総称

 

2要因ともに対応なし、繰り返し数がすべて等しい場合 

f:id:yoshida931:20170816111011p:plain

                                                                                             

例)

要因1(水準A1、水準A2)、要因2(水準B1、水準B2、水準B3)

f:id:yoshida931:20170816111320p:plain

 

                     (仮想データ使用)

 

Rの関数で分散分析表を作成してみます 

各セルにベクトル名をつけて処理してみます

それぞれのベクトルは繰り返し数5になっています

f:id:yoshida931:20170817104436p:plain

s1<-c( 7,11,8,10,9 )

s2<-c( 9,11,10,9,11 )

s3<-c( 21,22,19,18,22 )

s4<-c( 23,21,26,27,22 )

s5<-c( 12,16,16,17,15 )

s6<-c( 9,8,11,10,9 )

 

全データのベクトル

s<-c( s1,s2,s3,s4,s5,s6 ) 

 

水準名をつけます

A<-c(rep("A1",15),rep("A2",15))
B<-c(rep("B1",5),rep("B2",5),rep("B3",5),rep("B1",5),rep("B2",5),rep("B3",5))

 

イメージ

f:id:yoshida931:20170817104553p:plain


summary ( aov ( s ~ A * B) )

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
A 1 67.5 67.5 21.89 9.40e-05 ***
B 2 73.3 36.6 11.88 0.000259 ***
A:B 2 850.2 425.1 137.87 6.94e-14 ***
Residuals 24 74.0 3.1

f:id:yoshida931:20170626185319p:plain

 

この分散分析表を平方和から求めてみます

 

平均

二元配置分散分析交互作用と分散分析表を求めるためには

次の4つの平均が必要になります

平均1(総平均)

f:id:yoshida931:20170816140407p:plain

平均2(群Aの平均)

f:id:yoshida931:20170816113234p:plain

平均3(群Bの平均)

f:id:yoshida931:20170816113610p:plain

平均4(群(A,B)の平均)

f:id:yoshida931:20170816120956p:plain

 

 

下の表を使用して平方和の分解を行います

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注意) 一元配置の表と異なるので注意してください.( Ai , Bj ) の中にそれぞれn個( x1,x2,...,xn  、繰り返し=n )のデータが入っており、xaij は( Ai , Bj ) の平均値を示しています. 

 

2元配置の構造モデル

実測値 = 全体平均 + Aの主効果 + Bの主効果 + ABの相互作用 + 誤差項

xij = xa + ( xai, - xa ) + ( xa-j - xa ) + ( xaij - xai, - xa,j + xa ) + ( xij - xaij )

xij - xa = ( xai, - xa ) + ( xa-j - xa ) + ( xaij - xai, - xa,j + xa ) + ( xij - xaij )

両辺の二乗和

∑(f)∑(g)∑(n) ( xij - xa )^2 

    = ∑(f) g*n*( xai, - xa ) ^2                        Aの主効果

      + ∑(g) f*n*( xa-j - xa )                               Bの主効果  

         + ∑(f)∑(g)n* ( xaij - xai, - xa,j + xa ) ^2      ABの相互作用

            + ∑(f)∑(g)∑(n)xij - xaij ) ^2                            誤差項

 

イメージ

f:id:yoshida931:20170816212841p:plain

 

自由度

A群間の変動:f - 1

B群間の変動:g - 1

交互作用ABの変動: ( f - 1 )*( g - 1 )

群内変動:a*b*( n - 1 )

 

平方和の分解(平均は最後にaを付けることにします)

全体平均

xa<- mean ( s )

各セルの平均

s1a<-mean (s1)

s2a<-mean (s2)

s3a<-mean (s3)

s4a<-mean (s4)

s5a<-mean (s5)

s6a<-mean (s6)

A1,A2の平均ベクトル

Aa<-c ( mean ( c( s1 , s2 , s3 ) ) , mean ( c( s4 , s5 , s6 ) ) )

B1,B2,B3の平均ベクトル

Ba<-c ( mean ( c( s1 , s4 ) ) , mean ( c( s2 , s5 ) ) , mean ( c( s3 , s6 ) ) )

構造モデルから求めた二乗和を算出します

全体 ∑(f)∑(g)∑(n) ( xij - xa )^2

sum ( s - xa )^2

= 1064.967

Aの主効果  ∑(f) g*n*( xai, - xa ) ^2      

3*5*sum((Aa - xa) ^2)  
= 67.5            

Bの主効果 ∑(g) f*n*( xa-j - xa )

2*5*sum((Ba - xa) ^2)  

= 73.26667                            

ABの相互作用 ∑(f)∑(g)n* ( xaij - xai, - xa,j + xa ) ^2

5* ( s1a -  mean ( c( s1 , s2 , s3 ) ) - mean ( c( s1 , s4 ) ) + xa )^2+

5* ( s2a - mean ( c( s1 , s2 , s3 ) ) -mean ( c( s2 , s5 ) ) +xa )^2+

5* ( s3a - mean ( c( s1 , s2 , s3 ) ) - mean ( c( s3 , s6 ) ) +xa)^2+

5* ( s4a -  mean ( c( s4 , s5 , s6 ) )-mean ( c( s1 , s4 ) ) + xa)^2+

5* ( s5a -  mean ( c( s4 , s5 , s6 ) )-mean ( c( s2 , s5 ) ) +xa )^2+

5* ( s6a -  mean ( c( s4 , s5 , s6 ) )- mean ( c( s3 , s6 ) ) +xa)^2

= 850.2

誤差項∑(f)∑(g)∑(n)xij - xaij ) ^2

sum(( s1 - s1a )^2) +
sum((s2 -s2a)^2) +
sum((s3 - s3a)^2 )+
sum((s4 - s4a)^2) +
sum((s5- s5a)^2) +
sum((s6 - s6a)^2)

= 74

 

 これでR関数で出力した分散分析表が作成できます

分散分析表

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