理学療法士がまとめたノート

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比率の信頼区間

投稿日2017.6.19
更新日2017.7.9


比率の信頼区間

例)有権者から2,400人を無作為抽出した結果、1,250人は支持していたことがわかった.有権者の支持率の95%信頼区間を求めよ.
出典 日本統計学会 (編集); 日本統計学会公式認定 統計検定2級対応 統計学基礎, 東京図書, 2012, p149

二項分布の問題です.
考え方)試行回数n=2,400回、成功回数X=1,250回、成功確率p=1,250÷2,400 

成功回数Xは二項分布 B ( n , p ) にしたがう.
母集団の成功確率をpとした場合の推定値は

   f:id:yoshida931:20170619182944p:plain

二項分布の正規近似よりXを標準化した

   f:id:yoshida931:20170619183856p:plain

nが大きい場合、次のZは近似的に標準正規分布 N ( 0 ,1 ) にしたがう.

   f:id:yoshida931:20170619184137p:plain
したがって95%信頼区間

         f:id:yoshida931:20170619184527p:plain

n=2400, X=1250 
p1 <-  ( X/n )  -  qnorm(0.975)  * sqrt ( ( ( X/n )*( 1 - X/n ) ) / n )
p2 <-  ( X/n ) +  qnorm(0.975)  * sqrt ( ( ( X/n )*( 1 - X/n ) ) / n )
       p1 < 95%信頼区間 < p2

Rの関数では
binom.test(1250, 2400)

Exact binomial test

data: 1250 and 2400
number of successes = 1250, number of trials = 2400, p-value = 0.04328(両側確率)
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.5006234 0.5409923
sample estimates:
probability of success
0.5208333

 

 

比率の差の信頼区間
A群はn1人の中のn1'人が支持している、B群はn0人の中のn0'人が支持している.

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両群の支持率に差の95%信頼区間を求めよ.

f:id:yoshida931:20170619194012p:plain

f:id:yoshida931:20170619191059p:plain

もとめるものは… f:id:yoshida931:20170619194047p:plain

 

Rの関数では
prop.test ( c ( n1', n0' ) , c ( n1,n0 ) , correct = F )

例)

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A群での支持率は0.4
B群での支持率は0.32
A群とB群の支持率の差は0.08・・・さて、その信頼区間は?

prop.test(c(50, 38), c(76,79), correct=F)

2-sample test for equality of proportions without continuity correction

data: c(50, 38) out of c(76, 79)
X-squared = 4.9384, df = 1, p-value = 0.02627
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
0.02353533 0.33022883
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.6578947 0.4810127

A群とB群の支持率の差の信頼区間は、( 0.024  0.33 )  となった.
AB間で支持率に差があるのか?
有意水準5%では差があるのだが・・・
この結果をどう考えるかは研究者、研究目的によって異なります.

出典)柳川 堯 , 荒木 由布子; バイオ統計の基礎―医薬統計入門,近代科学社 ,2010, p142