理学療法士がまとめたノート

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確率変数の同時分布

確率変数X、Yの同時分布

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出典)柳川 堯 , 荒木 由布子; バイオ統計の基礎―医薬統計入門,近代科学社 ,2010,p60


二次元確率変数の期待値

X=1
の周辺分布
P(X=1,Y) = 0.1 + 0.2 = 0.3

確率変数Xの期待値
E(X) = 1*(0.1+0.2) + 2*(0.4+0.3) = 1.7

確率変数Yの期待値
E(Y) = 1*(0.1+0.4) + 2*(0.2+0.3) = 1.5

確率変数X*Yの期待値

E(XY)=1*1*0.1+1*2*0.2+2*1*0.4+2*2*0.3=2.5

XとYの共分散
Cov(X,Y)= E(XY) - E(X) *E(Y) =2.5-1.7*1.5= -0.05

E(X^2)= 1*(0.1+0.2)+ 4*(0.4+0.3) = 3.1
E(Y^2)= 1*(0.1+0.4) + 4*(0.2+0.3) = 2.5
V(X) = E(X^2) – (E(X))^2 = 3.1 - 1.7^2 = 0.21
V(Y) = E(Y^2) – (E(Y))^2 = 2.5 - 1.5^2 = 0.25
V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2*Cov(X,Y) = 0.21+0.25+2*(-0.05) = 0.36