ユールのQ
ユール ( Yule ) のQ
ユールの関連係数、ユールの連関係数とも呼ばれています．関連が強いほど1または-1に近い値をとります。
Q= ( a*d - b*c ) / ( a*d + b*c ) = ( オッズ比 - 1 ) / ( オッズ比 + 1 )
例）2つの質問 ( q1 , q2 ) に関する答え ( yes , no ) のベクトルを考えます．
q1<-c("yes","yes","yes","yes","yes","yes","yes","no","no","no")
q2<-c("yes","yes","yes","no","no","no","no","yes","yes","no")
tq<- table ( q1,q2 )
Q = ( 1*3 - 2*4 ) / ( 1*3 + 2*4 )
= - 0.4545455
Rの関数で確認してみます
install.packages("psych")
library(psych)
Yule(tq)
= - 0.4545455
Rstudioでの data.frame 表示の不具合
データフレームを表示したときに、ラベルが見えなくなりました
RStudio-1.0.143 から RStudio-1.0.153 へバージョンアップすることで不具合は解消しました．
https://www.rstudio.com/products/rstudio/download/preview/
Rstudioのサポートページの掲示板で助言を受けました！
ファイ係数
連関係数
クロス集計表における2つの変数間の関連性の程度を表す指標として，連関係数が提案されています．
連関係数＜｜0.2｜ 連関はほとんどない
｜0.2｜≦連関係数＜｜0.4｜ やや連関がある
｜0.4｜≦連関係数＜｜0.7｜ 強い連関がある
｜0.7｜≦連関係数 かなり強い連関がある
対馬栄輝; よくわかる医療統計 -「なぜ?」にこたえる道しるべ, 東京図書, 2015
ファイ係数 (φ係数)
クロス集計表における行要素と列要素の関連の強さを示す指標. 1と0の2つの値からなる変数に対して計算される相関係数です。つまり、２つの２値変数をそれぞれ1と0で数値化した上で算出した積率相関係数です。1と0の2つの値とは、「好き、嫌い」、「はい、いいえ」など、2択で表現されるデータです. 選択肢Aに0を、選択肢Bに1を割り付けることで、ファイ係数を求めることができます.
例）2つの質問 ( q1 , q2 ) に関する答え ( yes , no ) のベクトルを考えます．
q1<-c("yes","yes","yes","yes","yes","yes","yes","no","no","no")
q2<-c("yes","yes","yes","no","no","no","no","yes","yes","no")
q101<-ifelse(q1=="yes",1,0) # 0,1のベクトルに変更
q101 <- c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0)
q201<-ifelse(q2=="yes",1,0) # 0,1のベクトルに変更
q201 <- c(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0)
ピアソンの積率相関係数を2行×2列のクロス集計表に適用したもの
ピアソンの積率相関係数
mean ( q101 )
=0.7
mean ( q201 )
=0.5
sum ( ( q101-0.7 ) * ( q201 - 0.5 ) )
= - 0.5
sum ( ( q101 - 0.7 )^2 )
=2.1
sum ( ( q201 - 0.5 )^2 )
=2.5
r = - 0.5 / sqrt ( 2.1 * 2.5 )
= - 0.2182179
Rの関数で確認してみます
cor(q101,q201) #相関係数をcor( )で算出
= - 0.2182179
次に例題をテーブルにして眺めてみます
tq<- table ( q1,q2 )
t<- tq [ c(2,1) , c(2,1) ]
#これは不要ですがラベルの並べ替えです．yesから始めたいので挿入しておきます（1番目と2番目の入れ替え）
理解のためにデータフレームに変換します
t< - data.frame ( t )
q1 q2 Freq
1 yes yes 3 # t $ Freq[1]
2 no yes 2 # t $ Freq[2]
3 yes no 4 # t $ Freq[3]
4 no no 1 # t $ Freq[4]
ファイ係数φその1 ｶｲ二乗値より
φ＝√（ｶｲ二乗値/ｎ）
chisq.test ( tq , correct=F )
X-squared = 0.47619
φ＝sqrt ( 0.47619 / 10 )
= 0.2182178
ファイ係数φその2 観測値と周辺度数より
φ = ( a*d - b*c ) / √ ( a+b )*( c+d )*( a+c )*( b+d )*
x <- t$Freq[1] * t$Freq[4] - t$Freq[2] * t$Freq[3] # x = 対角線上の観測値を掛けたものの差
y <- ( t$Freq[1] + t$Freq[3] )* # y = 全ての周辺度数を掛けたもの
( t$Freq[2] + t$Freq[4] )*
( t$Freq[1] + t$Freq[2] )*
( t$Freq[3] + t$Freq[4] )
φ ＝ x / sqrt(y)
= - 0.2182179
Rの関数で確認してみます
install.packages ( "psych" )
library ( psych )
phi ( tq , digits=8 )
= - 0.2182179
イェーツの補正
イェーツの補正 / イェーツの連続修正（Yate's continuity correction）
離散型分布を連続型分布に近似させて統計的検定を行う際に使用する修正です．2×2分割表のデータに対して行われ、より正確な検定が可能になります．「連続的なカイ二乗分布（自由度1のχ二乗分布）」に近似するために、2×2分割表の中で観察される「二項分布型度数の離散型の確率」を補正します．各々の観測値と期待度数の差の絶対値より0.5を差し引くことによりカイ二乗検定の式を調整します．計算の結果得られるカイ二乗値を減らすことになりp値が増加することになります．
例）
x<-c(116,244)
y<-c(76,44)
xy<-data.frame(x,y)
期待度数
sum(x) * sum(116+76) / sum(xy)
sum(y) * sum(116+76) / sum(xy)
sum(x) * sum(244+44) / sum(xy)
sum(y) * sum(244+44) / sum(xy)
xe<- c( sum(x) * sum(116+76) / sum(xy) , sum(x) * sum(244+44) / sum(xy) )
ye<- c( sum(y) * sum(116+76) / sum(xy) , sum(y) * sum(244+44) / sum(xy) )
xye<-data.frame(xe,ye)
ｶｲ二乗値
( 116 - xye[1,1] ) ^2 / xye [1,1] +
( 76 - xye [1,2] ) ^2 / xye [1,2] +
( 244 - xye [2,1] ) ^2 / xye [2,1] +
( 44 - xye [2,2] ) ^2 / xye [2,2]
= 35.01157
イエーツの補正 を実施したｶｲ二乗値
( abs ( 116 - xye[1,1] ) - 1 / 2 ) ^2 / xye[1,1] +
( abs ( 76 - xye[1,2] ) - 1 / 2 ) ^2 / xye[1,2] +
( abs ( 244 - xye[2,1] ) - 1/2 ) ^2 / xye[2,1] +
( abs ( 44 - xye[2,2] ) - 1/2 ) ^2 / xye[2,2]
= 35.01157
Rの関数で確認します
chisq.test(xy)
Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: xy
X-squared = 35.012, df = 1, p-value = 3.278e-09
サンプルは日本統計学会 (編集); 日本統計学会公式認定 統計検定２級対応 統計学基礎, 東京図書, 2012,p156の例7
符号検定
符号検定 ( sign test ) 一標本問題
n個のうちｘ個以下の符号が他の符号と異なる確率を求める検定です．正と負が同じ確率で出るときに、正（または負）の値の数がxとなる確率が B ( n , 0.5 ) の2項分布に従うことを利用します．
例
y<- c (1.5, 1.1, 1.2, -1.2, 2.3)
yの中に含まれる負の値をもつ数は1個です．少なくとも4個は正になる確率を求めます． 5個中1個負になるか、または5個中全てが正になる確率 です．また例題では一つが負なのですが、一つが正になる場合も同じ確率になりるので両側確率を求めることになります．以下のグラフを見てみましょう．
x <- 0 : 5 #ｘ軸は成功回数
y <- dbinom ( x, 5, 0.5 ) #ｙ軸は確率密度
plot ( x, y, type = "h", col = c(2, 2, 1, 1, 2, 2), lwd = 3 )
求める確率は以下の赤部分の合計
5個が全て正になる場合は 5C0 = choose( 5 , 0 ) = 1
5個が全て正になる確率は ( 1/2 )^5 = 1/32
5個中1個が負になる場合は 5C1 = choose( 5, 1 ) = 5 通り
5個中1個が負になる確率は ( 1/32 ) *5 = 5/32
5個中2個が負になる場合は 5C2 = choose( 5, 2 ) = 10 通り
5個中2個が負になる確率は ( 1/32 ) *10 = 10/32
上記のように考えてｐ値を算出します．
yは5個中1個が負の数になっています．したがって5個のうち1個以下の符号が他と異なる確率を求めることになります．つまり少なくとも4個が同じ符号である確率を求めます．
1個が正になる確率＋全てが負になる確率＝ 5/32 + 1/32
1個が負になる確率＋全てが正になる確率＝ 5/32 + 1/32
ｐ値 = ( 5/32 + 1/32 ) * 2 = 0.375
Rの関数で確かめます
2*pbinom ( 1, 5, 0.5 )
=0.375
上式は以下のようになります
5個が全て正になる確率
= choose ( 5,0 ) * ( 0.5^0 ) * ( 0.5^5 ) #成功回数0回
= dbinom ( 0, 5, 0.5 )
= 0.03125
5個中1個が負になる確率
= choose ( 5,1 ) * ( 0.5^1 ) * ( 0.5^4 ) #成功回数1回
= dbinom ( 1 , 5 , 0.5 )
= 0.15625
両側確率なので×2
{ dbinom ( 0 , 5 , 0.5 ) + dbinom ( 1 , 5 , 0.5 ) } *2
= 0.375
nが大きい場合
E[x] = np , V[x] = np ( 1 – p ) より
p = 1/2 を代入して正規近似にて検定を行います．
